前節で「古典物理学の物理量を基にして作られた演算子の『期待値』はその物理量に対し繰り返し行われた測定の平均値と解釈される」ことを知った。このことでもわかるように、量子力学の特徴は「物理量が演算子で与えられる」ことにあるので、この節では演算子に対する理解をもう少し深めておく。
　古典物理学におけるほとんどの物理量は座標と運動量の関数であり、その時間変化を知りたければニュートン運動方程式を解いてその物理量を持つ粒子（物体）の座標と運動量を時間の関数として求め、それを物理量に代入することによって物理量の時間変化を知ることができた。一方、量子力学の物理量は座標演算子と運動量演算子の関数ではあるが、演算子自体は時間変数を持っていないので演算子は時間によって変わらない。しかし測定値である期待値は波動関数を通じて時間によって変化する。そして、その時間変化（物理量の運動）はおもしろいやり方で古典物理学と関係する。それを理解するため、まず演算子を特徴づける「交換関係」を知らなければならない。以下で「量子状態」という言葉が現れるので、その意味を与えておく。

【量子状態】
　「量子状態」とは「（量子系）が与えられた状況の下で取り得る状態」であるが、ここでは簡単に「シュレディンガー方程式を満足する波動関数は一つの量子状態を表す」と理解しておく。

　量子力学が古典力学と大きく違うことの一つに測定の考え方がある。古典力学では運動する物理系が持つ物理量を測定することに特別な問題はなかった。しかし量子力学で測定は特別な意味を持つ。それは測定手段自体が量子力学で扱わなければならない物理系であるからである。たとえば、「オービス」という自動車の速度を測定する装置がある。これは走ってくる自動車に電波や光を照射して反射波の周波数を測定し、ドップラー効果を利用して自動車の速度を測定する装置である。自動車のような物体なら何の問題もないが、もしこれが原子や分子であったら、照射された電波や光を構成する光子のエネルギーが原子や分子が持つ運動エネルギーと同じ程度になるため、電波や光が照射されると原子や分子がそのエネルギーを受け取り、測定したかった運動状態が変わってしまう。したがって測定する対象が量子力学系の場合は、測定手段が何であっても測定の意味を厳密に定義しなければならない。

【道草】
　量子論が提唱された時代から測定および観測の問題は、それが対象とする物理系に与える影響が大きいため、絶えない論争の一つであった。それが認識に関わる哲学的な内容を含むため、物理学者のみならず、多くの数学者、文学者、社会学者、哲学者が論争に加わって、それは現在も続いている。そこには、人間の意識の関わりから脳の働きまで、実に様々な問題が含まれている。これらを論じることは実用的な意味の量子力学から離れるので避けるが、もし興味があればその種の出版物を読むとよい。

　ある量子状態$\Psi$で物理量の測定を行なうことは一般にその量子状態を変えるが、数学的にその状態変化は$\Psi$に対する物理量を表す演算子の演算によって表現される。そこには$1925$年に「量子力学」を完成させたイギリスの天才物理学者ディラックの鋭い洞察があった。すなわち、デイラックは一つの量子状態とそれが観測により変化した量子状態の関係を数学の「 ベクトル空間の線型代数」を使って表現したのである。そこに至る数学的議論を詳しくは与えないが、その後に量子力学が示した革命的成功はディラックの洞察が正しかったことを十分に証明している。
　測定と量子状態の変化との関係を具体的に見て行くことにする。いま演算子$A$と $B$が表す二つの物理量を量子状態$\Psi$で二通りのやり方で測定することを考える。

1. 最初は、状態$\Psi$でまず$A$の測定を行なう。その結果状態は$\Psi$に $A$が演算されてできた状態$(A\Psi )$に変わる。この状態で$B$の測定を行なうと、状態はさらに$(B(\mathrm{A\Psi })=\mathrm{BA\Psi })$に変わる。これは状態$\Psi$で物理量 $(\mathrm{BA})$を測定した結果とも考えられる。

2. 次の測定では、まず$B$の測定を$\Psi$で行なう。それで生じた状態$(\mathrm{B\Psi })$で $A$の測定を行う。結果として$(A(\mathrm{B\Psi })=\mathrm{AB\Psi })$の状態が生じるが、これは状態 $\Psi$で$(\mathrm{AB})$を測定した結果とも考えられる。

1. 最初に掛け算、続けて足し算の順に演算を行う。つまり、最初に$a$と $b$をかけて$(a\times b)$を作り、その結果に$c$を加える。結果は、$(a\times b)+c=a\times b+c$となる。

2. 最初に足し算、続けて掛け算の順に演算を行う。つまり、最初に$a$と $b$を加えて$(a+b)$を作り、その結果に$c$をかける。結果は、$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$となる。

<4-71>　(4.5.1)　$\mathrm{AB}-\mathrm{BA}\equiv [A,B]$

と書き、これを$A$と$B$の「交換関係」または「交換子」という。「交換関係」は一つの演算子を表すことを理解しなければならない。本書では説明しないが、量子力学で「不確定性原理」と呼ばれるものはこの交換関係と密接に関係している。
　交換関係に関する重要ないくつかの関係式と恒等式を以下にまとめておく。

1. $A$と$B$の交換関係に対して、次の恒等式が成り立つ。

   <4-72>　(4.5.2)　　$[A,B]=-[B,A]$

   <4-73>　(4.5.3)　　$[A,A]=0$

2. $[A,B]=0$のとき、 $A$と $B$は「可換である」（「交換する」）という。 $A$と$B$が可換なときは$A(B\Psi )=B(A\Psi )$で、二つの演算によって生じる量子状態は演算の順番によらず同じである。

3. $A$と$B$の連続した演算を$\mathrm{AB}$と書く。それともう一つの演算子 $C$との交換関係は

   <4-74>　(4.5.4)　　$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$

   であり、演算子積$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$の交換関係は

   <4-75>　(4.5.5)　　$[AB,CD]=[A,C]BD+C[A,D]B+A[B,C]D+CA[B,D]$

   である。すなわち、それらは基本の$2$個の演算子の交換関係で表される。

<4-76>　(4.5.6)　${\overrightarrow{r}}^{\mathrm{op}}f=\overrightarrow{r}f$

<4-77>　(4.5.7)　$\begin{array}{c}{\overrightarrow{p}}^{\mathrm{op}}f=-i\hslash \nabla f\hfill \\ =-i\hslash \left(\overrightarrow{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial f}{\partial z}\right)\hfill \end{array}$

を行う。以降、混乱が生じない場合には演算子を表す記号$(\mathrm{op})$を省く。以下で、それぞれが$3$成分をもつ $\overrightarrow{r}$と$\overrightarrow{p}$の交換関係を調べるが、その組み合わせは $\overrightarrow{r}$の$3$個の成分同士で作る$9$個の交換関係、 $\overrightarrow{p}$の $3$個の成分同士で作る$9$個の交換関係、$\overrightarrow{r}$の $3$個の成分と$\overrightarrow{p}$の$3$個の成分で作る $9$個の交換関係で、計$27$個の交換関係がある。しかし(4.5.2)式と(4.5.3)式の関係があるから、結果が自明ではない交換関係は

• ①　異なる座標成分間の交換関係$3$組 <4-78> $([x,y],[y,z],[z,x])$

• ②　異なる運動量成分間の交換関係$3$組 <4-79> $([p_x,p_y],[p_y,p_z],[p_z,p_x])$

• ③　座標と運動量の同じ成分間の交換関係$3$組 <4-80> $([x,p_x],[y,p_y],[z,p_z])$

• ④　座標と運動量の異なる成分間の交換関係$6$組 <4-81> $([x,p_y],[x,p_z],[y,p_z],[y,p_x],[z,p_x],[z,p_y])$

<4-82>　$\begin{array}{c}[x,y]f=(\mathrm{xy}-\mathrm{yx})f\hfill \\ =xyf-yxf\hfill \end{array}$

である。ここで最後の式にある$x$と$y$は演算子ではなく、(4.5.6)式にしたがって関数$f(x,y,z)$を$x$倍と $y$倍する単なる掛け算である。したがって一項目と二項目は同じ結果を与え、それらの引き算を行うと$0$になる。すなわち$[x,y]$は関数に$0$をかけるのと同じ演算を行なう。これを$[x,y]=0$と書く。座標成分が含まれる他の交換関係も同様である。すなわち、この結果は

【・】座標成分間の交換関係は全て$0$である。したがって「座標演算子の成分は全て交換する。」

　次に②の異なる運動量成分間の交換関係として$f(x,y,z)$に対する演算$[p_x,p_y]f(x,y,z)$は定義にしたがって次のように計算される：

<4-83>　$\begin{array}{c}[p_x,p_y]f=p_x{p}_{y}f-p_y{p}_{x}f\hfill \\ =-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\left(-i\hslash \frac{\partial f}{\partial y}\right)+i\hslash \frac{\partial }{\partial y}\left(-i\hslash \frac{\partial f}{\partial x}\right)\hfill \\ =-{\hslash }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+{\hslash }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\hfill \end{array}$

である。最後の式で$x$と$y$に関する微分の順番を入れ換えることができるから、二項の和は$0$になる。すなわち、<4-84> $\left([p_x,p_y]=0\right)$であり、他の交換関係も同様である。すなわち、この結果は

【・】　運動量成分間の交換関係は全て$0$である。したがって「運動量演算子の成分は全て交換する。」

　次に順番を変えて、先に④の座標と運動量の異なる成分間の交換関係を考える。どの組み合わせを考えても同じなので$[x,p_y]$の組み合わせを考えると、交換関係の定義と(4.5.6)式を使って、座標の任意関数$f(x,y,z)$に対する $[x,p_y]$の演算は

<4-85>　$\begin{array}{c}[x,p_y]f=x{p}_{y}f-p_{y}xf\hfill \\ =x\left(-i\hslash \frac{\partial f}{\partial y}\right)-\left(-i\hslash \frac{\partial (xf)}{\partial y}\right)\hfill \\ =-i\hslash x\frac{\partial f}{\partial y}-\left(-i\hslash x\frac{\partial f}{\partial y}\right)=0\hfill \end{array}$

すなわち$[x,p_y]=0$であり、他の交換関係も同様である。したがって

【・】「座標演算子と運動量演算子は異なる成分間であれば交換する」。

　最後に、③の座標と運動量の同じ成分間の交換関係を調べる。どの組み合わせを考えても同じなので$[x,p_x]$を考える。座標の任意関数$f(x,y,z)$に対してこの演算を行えば

<4-86>　$\begin{array}{c}[x,p_x]f=x\left(-i\hslash \frac{\partial f}{\partial x}\right)-\left(-i\hslash \frac{\partial (\mathrm{xf})}{\partial x}\right)\hfill \\ =-i\hslash x\frac{\partial f}{\partial x}+i\hslash \left(x\frac{\partial f}{\partial x}+f\right)\hfill \\ =i\hslash f\hfill \end{array}$

すなわち、このときだけ交換関係の演算結果は$0$でない。

【・】　座標演算子と運動量演算子の同じ成分間の交換関係は関数を$i\hslash$倍する結果を与える。言いかえると「座標演算子と運動量演算子は同じ成分間では交換せず、その交換関係は状態を $i\hslash$倍する演算を行なう」。

　以上の結果をまとめておく。そのために、便宜上、座標演算子$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$を$(x_1,x_2,x_3)$、運動量演算子$\overrightarrow{p}=(p_x,p_y,p_z)$を$(p_1,p_2,p_3)$と書こう。そうすると、$\overrightarrow{r}$と$\overrightarrow{p}$に関する交換関係は

<4-87>　(4.5.8)　$\left\{\begin{array}{c}[x_i,x_j]=0\hfill \\ [p_i,p_j]=0\hfill \\ [x_i,p_j]=i\hslash {\delta }_{i,j}\hfill \end{array}\right.,(i,j=1,2,3)$

である。ここで${\delta }_{i,j}$は第二章でポアッソン括弧式を学んだときに現れたクロネッカーのデルタ記号であり、改めて与えると

<4-88>　(4.5.9)　${\delta }_{i,j}=\left\{\begin{array}{c}i\ne j\text{のとき： }0\hfill \\ i=j\text{のと：}1\hfill \end{array}\right.$

である。
　第二章$\S 2$「ポアッソン括弧という量」にある 【演習$1$】にあった古典力学の座標変数と運動量変数のポアッソン括弧式と、ここで求めた量子力学の座標演算子と運動量演算子の交換関係（(4.5.8)式）がとても似ていることに気がつくであろう。すなわち、

である。

【道草】
　この置き換えはこじつけではなく、天才中の天才といわれる物理学者ディラックが$1925$年に提唱した彼の量子力学はこの対応関係に基づいて作られた。つまり、ディラックはすべての物理量を直接測定できない演算子であると考え、ポアッソン括弧で表現された物理量間の関係を対応する演算子の交換関係を$\left(\frac{1}{i\hslash }\right)$した量で置き換えると、古典力学から量子力学を構築することができることを示した。（これが、この教科書の第一章でポアッソン括弧をていねいに説明した意味でもある。）当時は、そこに至るデイラックの定式化があまりにも数学的かつ抽象的であったため、その意味が十分には理解されず、翌年 $(1926\text{年})$に提唱された「シュレディンガー方程式」によって量子力学が代数方程式で表現され、それによってディラックの量子力学の意味を理解した人は少なくない。

【「エルミート共役演算子」と「エルミート演算子」】

　量子力学ではすべての物理量が演算子であると言ったが、その演算子の多くは「エルミート演算子」とよばれる 性質を持つ演算子である。その意味を理解するため、最初に任意の演算子に対してその「エルミート共役演算子」と呼ばれる演算子を定義する。
　いま二つの量子状態を表す波動関数を$\psi$と $\phi$とし、任意の演算子$A$に対して演算子$A^{*}$を積分

<4-90>　(4.5.10)　$\int {(\mathrm{A\varphi })}^{*}\mathrm{\psi d}\tau =\int {\varphi }^{*}{A}^{*}\mathrm{\psi d\tau }$

によって定義する。右辺にある演算子$A^{*}$を $A$の「エルミート共役演算子」という[5]。(4.5.10)式の積分の中で $\mathrm{d\tau }$という記号を使っているが、それは積分の詳細に関係ない議論を行いたい時に使う便宜的な記号である。具体的には、積分される関数を$F$とするとき：

<4-91>　(4.5.11)　$\int \mathrm{Fd\tau }=\left\{\begin{array}{c}\text{それが}(-L\le x\le L)\text{の線上における線積分の場合： }{\int }_{-L}^{L}F(x)\mathrm{dx}\hfill \\ \text{それが曲面}S\text{上の面積分の場合： }{\int }_{S}F(x,y)\mathrm{dS}\hfill \\ \text{それが空間}V\text{内の体積分の場合： }{\int }_{V}F(x,y,z)\mathrm{dV}\hfill \end{array}\right.$

を表す。
　重要なことなので強調しておくが、エルミート共役演算子は(4.5.10)式の積分によってのみ定義される。そのため、積分を行なった結果$0$になる量や積分の結果に現れない量を(4.5.10)式の$A^{*}$に加えても構わないが、エルミート共役演算子を含む等式を書くときにはそれを省略し、同時に支障がなければ波動関数と積分を省略して等式を書くと約束する。以下の演算子 $A$と$B$に対して成り立つ等式はその意味の等式である：

1. <4-92> $(A+B{)}^{*}=A^{*}+B^{*}$

2. <4-93> $(\mathrm{cA}{)}^{*}=c^{*}{A}^{*}$　　（ただし$c$は演算子でない普通の複素定数である）

3. <4-94> $(A^{*}{)}^{*}=A$

4. <4-95> $(\mathrm{AB}{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$

5. 実数関数（複素数を含んでいない関数）$f(x)$の変数 $x$を演算子$A$で置き換えた演算子$f(A)$に対して、 <4-96>$(f(A){)}^{*}=f(A^{*})$が成り立つ。

【$\text{4}$の証明】

(4.5.10)式右辺の$A$を演算子$\mathrm{AB}$で置き換え、それを(4.5.10)式左辺で$A$を演算子 $\mathrm{AB}$としたものに等値すると、

<4-97>　$\begin{array}{c}\int {\varphi }^{*}(\mathrm{AB}{)}^{*}\mathrm{\psi d\tau }=\int [(\mathrm{AB})\varphi {]}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \\ =\int [A(\mathrm{B\varphi }){]}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \end{array}$

であるが、$\mathrm{B\varphi }$は一つの関数であるので、それを $\chi$と書き、再度(4.5.10)式を使うと、

<4-98>　$\begin{array}{c}\int {\varphi }^{*}(\mathrm{AB}{)}^{*}\mathrm{\psi d\tau }=\int [A(\mathrm{B\varphi }){]}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \\ =\int {(A\chi )}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \\ =\int {\chi }^{*}{A}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \end{array}$

となる。ここで$\chi$を元に戻し、また$A^{*}\psi$が一つの関数であるのでそれを$\xi$と書き、それに再度(4.5.10)式を使うと、

<4-99>　$\begin{array}{c}\int {\varphi }^{*}(\mathrm{AB}{)}^{*}\mathrm{\psi d\tau }=\int {\chi }^{*}{A}^{*}\mathrm{\psi d\tau }\hfill \\ =\int {(\mathrm{B\varphi })}^{*}\xi \mathrm{d\tau }\hfill \\ =\int {\varphi }^{*}{B}^{*}\xi \mathrm{d\tau }\hfill \end{array}$

となる。最後に$\xi$を元の$A^{*}\psi$に戻すと

<4-100>　$\begin{array}{c}\int {\varphi }^{*}(\mathrm{AB}{)}^{*}\mathrm{\psi d\tau }=\int {\varphi }^{*}{B}^{*}\xi \mathrm{d\tau }\hfill \\ =\int {\varphi }^{*}{B}^{*}{A}^{*}\psi \mathrm{d\tau }\hfill \end{array}$

となるので、$\text{4}$の等式が証明できた。

　(4.5.10)式で定義される「エルミート共役演算子」$A^{*}$がもし

<4-101>　(4.5.12)　$\int {\left(\mathrm{A\varphi }\right)}^{*}\mathrm{\psi d\tau }=\int {\varphi }^{*}\mathrm{A\psi d\tau }$

すなわち$A=A^{*}$であるとき、 $A$を「エルミート演算子」という。これは物理量を表すほとんどの演算子が有する重要な性質である。「エルミート共役演算子」を作ることと、演算子が「エルミート演算子」であることを混同しないよう注意する必要がある。「エルミート共役演算子」は任意の演算子に対していつでも作ることができる演算子の 名称であり、「エルミート演算子」は特定の演算子が持つ 性質である。
　「エルミート演算子の性質は物理量を表すほとんどの演算子が有する重要な性質である。」と述べた。実際に演算が(4.5.7)式で定義された運動量演算子はエルミート演算子である。まずそれを示すことにしよう。簡単のために一次元（変数$x$）で、粒子は$(-\infty \le x\le \infty )$の領域に存在するとし、(4.5.12)式によって規格化した二つの波動関数を $\psi (x)$と $\varphi (x)$とする。粒子は $(-\infty \le x\le \infty )$に必ず存在するので、その領域の境界で$\psi (\pm \infty )=0$でなければならない。

【運動量演算子はエルミート演算子である】
　一次元の運動量演算子<4-102> $\left(p=-i\hslash \frac{d}{\mathrm{dx}}\right)$を(4.5.10)式の $A$であるとして左辺に代入すると、

<4-103>　$\begin{array}{cc}\hfill {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[p\varphi \right]}^{*}\psi \mathrm{dx}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[-\mathrm{i\hslash }\frac{d\varphi }{\mathrm{dx}}\right]}^{*}\psi \mathrm{dx}\hfill \\ \hfill & =\mathrm{i\hslash }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d{\varphi }^{*}}{\mathrm{dx}}\psi \mathrm{dx}\hfill \end{array}$

であるが、この最後の式に部分積分をおこない、$\psi (\pm \infty )=0$を使えば、

<4-104>　$\begin{array}{c}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[\mathrm{p\varphi }\right]}^{*}\psi \mathrm{dx}=i\hslash {\left[{\varphi }^{*}\psi \right]}_{x=-\infty }^{x=\infty }-i\hslash {\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{*}\frac{\mathrm{d\psi }}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}\hfill \\ =-i\hslash {\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{*}\frac{\mathrm{d\psi }}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}\hfill \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{*}\mathrm{p\psi }\mathrm{dx}\hfill \end{array}$

となる。そもそも最初の式は運動量演算子のエルミート共役演算子$p^{*}$を定義する式、すなわち<4-105> $\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{\left[\mathrm{p\varphi }\right]}^{*}\psi \mathrm{dx}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\varphi }^{*}{p}^{*}\psi \mathrm{dx}\right)$、であるから、よって$p^{*}=p$であることがわかる。すなわち$p$はエルミート演算子である。

【道草】
　二つの実数$(x\text{と}y)$と虚数単位$i$を持つ複素数$z=x+\mathrm{iy}$の複素共役$z^{*}$が$i$を$-i$に変えた$z^{*}=x-\mathrm{iy}$であることと、「エルミート共役演算子」を作ることとを混同する人が少なくない。そのような混同をする人は、運動量演算子$\left(p=-i\hslash \frac{d}{\mathrm{dx}}\right)$の微分演算子の前にある$i$のためにその「エルミート共役演算子」が$\left(+i\frac{d}{\mathrm{dx}}\right)$であると誤解し、そのため 「$p$はエルミート演算子ではない」と間違った結論を下しがちである。 $p$の中にある$i$は、$p$が積分の中にあるために部分積分を実行することができ、それによって生じる好ましくない符号変化を打ち消すために$i$が必要なのである。その理由を上の証明でよく理解してほしい。
　まぎらわしいのは、演算子でない普通の複素数$(z=x+\mathrm{iy})$を、関数を単に$z$倍する演算子と考えても良いことである。そのときには、演算子としての$z$のエルミート共役演算子は $(z^{*}=x-\mathrm{iy})$であって、$z$の複素共役と同じ形になる。エルミート共役を作る手続きにしたがってこの証明を試みるとエルミート共役の意味がよく理解できるかもしれない。

　運動エネルギーはエルミート演算子である運動量の関数であるからエルミート演算子である。もしポテンシャル関数が実数関数であれば「実数関数の変数をエルミート演算子で置き換えた演算子はエルミート演算子である」ので、それもエルミート演算子である。ハミルトニアンはそれらの和であるから、したがってポテンシャル関数が実数関数ならばハミルトニアンはエルミート演算子になる。以下ではポテンシャル関数はいつも実数関数であり、ハミルトニアンは常にエルミート演算子であるとする。
　　　演算子$Q$が表す物理量がある。規格化された波動関数 $\Psi (\overrightarrow{r},t)$が表す量子状態での$Q$の期待値は

<4-106>　(4.5.13)　$Q(t)=\int {\Psi }^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }$

である。波動関数が時間によって変わるため期待値が$t$の関数であることに注意せよ。これを使って以下で二つのことを行う。

1. 　もし$Q$がエルミート演算子ならば、(4.5.13)式で与えられる $Q(t)$は実数であることを示す。

2. 　$Q(t)$の時間変化は演算子 <4-107> $\left(\frac{1}{i\hslash }[Q,H]\right)$の期待値に等しいことを示す。

<4-108>　$\begin{array}{c}{Q(t)}^{*}={\left[\int {\Psi }^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }\right]}^{*}\hfill \\ =\int \Psi {\left(Q\Psi \right)}^{*}\mathrm{d\tau }=\int {\left(Q\Psi \right)}^{*}\mathrm{\Psi d\tau }\hfill \\ =\int {\Psi }^{*}{Q}^{*}\mathrm{\Psi d\tau } \to \int {\Psi }^{*}Q\mathrm{\Psi d\tau }=Q(t)\hfill \end{array}$

となる。三番目の式から四番目の式へは、関数$\Psi$に $Q$が演算してできた$\left(Q\Psi \right)$は一つの状態を表す関数であり、その複素共役${\left(Q\Psi \right)}^{*}$も一つの関数であるから、それとその前にある関数 $\Psi$の位置を入れ替えただけである。この結果はたしかに期待値 $Q(t)$が実数であることを示している。すなわち

・エルミート演算子の期待値は実数である。

　次に$Q(t)$の時間変化」を調べる。このポイントは二つある：

• ①　$Q(t)$の時間変化は演算子 $Q$ではなく、波動関数$\Psi (\overrightarrow{r},t)$が担う。

• ②　$\Psi (\overrightarrow{r},t)$と${\Psi }^{*}(\overrightarrow{r},t)$の時間変化はシュレディンガー方程式

  <4-109>　(4.5.14)　$\left\{\begin{array}{c}i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}=\mathrm{H\Psi }\hfill \\ -i\hslash \frac{\partial {\Psi }^{*}}{\partial t}={\left(\mathrm{H\Psi }\right)}^{*}\hfill \end{array}\right.$

  によって定まる。二番目の式は一番目の式の複素共役である。
  【注意】シュレディンガー方程式の右辺の複素共役を作る時に注意しないといけないことがある。$\Psi$に$H$が演算してできた状態 $(\mathrm{H\Psi })$は一つの関数であり、その複素共役は ${(\mathrm{H\Psi })}^{*}$である。くれぐれも $H^{*}{\Psi }^{*}$としないよう気をつけること。それが不正確だからではなく、間違いだからである。

<4-110>　$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dQ}(t)}{\mathrm{dt}}=\frac{d}{\mathrm{dt}}\int {\Psi }^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }\hfill \\ =\int \frac{\partial {\Psi }^{*}}{\partial t}Q\Psi \mathrm{d\tau }+\int {\Psi }^{*}Q\frac{\partial \Psi }{\partial t}\mathrm{d\tau }\hfill \end{array}$

であるから、(4.5.14)式を使って$\frac{\partial {\Psi }^{*}}{\partial t}$と$\frac{\partial \Psi }{\partial t}$を書き換えると、

<4-111>　$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dQ}(t)}{\mathrm{dt}}=\int \left(\frac{1}{-i\hslash }\right){\left(\mathrm{H\Psi }\right)}^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }+\int {\Psi }^{*}Q\left(\frac{1}{i\hslash }\right)H\Psi \mathrm{d\tau }\hfill \\ =\frac{1}{i\hslash }\left[-\int {\left(\mathrm{H\Psi }\right)}^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }+\int {\Psi }^{*}QH\Psi \mathrm{d\tau }\right]\hfill \\ =\frac{1}{i\hslash }\left[-\int {\Psi }^{*}{H}^{*}Q\Psi \mathrm{d\tau }+\int {\Psi }^{*}Q\mathrm{H\Psi }\mathrm{d\tau }\right]\hfill \\ =\frac{1}{i\hslash }\left[-\int {\Psi }^{*}HQ\Psi \mathrm{d\tau }+\int {\Psi }^{*}Q\mathrm{H\Psi }\mathrm{d\tau }\right]\hfill \\ =\frac{1}{i\hslash }\left[\int {\Psi }^{*}(QH-HQ)\Psi \mathrm{d\tau }\right]\hfill \end{array}$

となる。最後の式にある丸括弧内の演算子は$Q$とハミルトニアンとの交換関係である。したがって期待値$Q(t)$の時間変化は

<4-112>　(4.5.15)　$\frac{\mathrm{dQ}(t)}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{i\hslash }\int {\Psi }^{*}\left[Q,H\right]\Psi \mathrm{d\tau }$

で与えられることがわかる。
　この式と古典力学のポアッソン括弧(2.2.6)式が酷似していることに気がつくであろう。前小節の【道草】で「ポアッソン括弧で表現された物理量間の関係を対応する演算子の交換関係を$\left(\frac{1}{i\hslash }\right)$した量で置き換えると、古典力学から量子力学を構築することができる」と書いたが、これもそのことを示す一つの例である。

【道草】
　以前に「量子力学は$1925$年にハイゼンベルグと $1926$年にシュレーディンガーが全く異なる形式の新しい理論を提唱し、これらの理論は同等なものである。」と述べたように、シュレディンガー方程式を使った量子力学の特徴は量子状態が時間的に変化し、それが観測量の時間変化を定める。
　一方、「行列力学」とよばれるハイゼンベルグが提唱した量子力学の特徴は本質的に(4.5.15)式にある。すなわち、物理量の時間変化が $H$と物理量を表す演算子との交換関係で決まることに注目する。この教科書ではハイゼンベルグの量子力学にはふれないので、もし興味があれば適当な教科書を参照してほしい。
　ちなみに、シュレディンガー流の量子力学とハイゼンベルグ流の量子力学がまったく同等の内容を持っていることを示したのは、先に出たディラックである。

　(4.5.15)式の理解を深めるために、次の演習を行う。

• 【演習1】
  　直線$x$軸上を運動し、ポテンシャル$V(x)$を持つ質量$m$の粒子のハミルトニアンは

  <4-113>　$H=\frac{p^2}{2m}+V(x)\text{(i)}$

  で与えられる。演算子$H$が関数に作用するとき $V$の演算は関数との積を作るだけなので、それが演算子であると意識されにくいかもしれないが、$V$もまた演算子であることを忘れないようにせよ。
  　$x$の期待値を時間を添えた$x$の大文字で$X(t)$のように表し、 $p$の期待値を同様に時間を添えた$p$の大文字$P(t)$で表すとき、以下の問に答えよ。

  • (問1)　<4-114>$\left(\frac{\mathrm{dX}(t)}{\mathrm{dt}}=\frac{P(t)}{m}\right)$であることを証明せよ。
  • 【解】　(4.5.15)式より、$\left(\frac{\mathrm{dX}(t)}{\mathrm{dt}}\right)$は交換関係$[x,H]$の期待値を計算してそれを$\left(\frac{1}{i\hslash }\right)$倍したものに等しいから、まずは$[x,H]$を計算する。しかるに、$H$のなかの$V(x)$は$x$の関数なので、いつでもマクローリン級数展開を使ってそれを$x$の冪級数で表すことができる。したがって、もしやろうと思えば、$V$と$x$の交換関係を$x$の冪 $(x,x^2,x^3,\dots )$と$x$の交換関係の和として表すことができる。それを行ったとすると、$x$の全ての冪は $x$と交換するから、結局$[x,V(x)]=0$となる。したがって $[x,H]$を考える時は、 $x$と$H$のなかの運動エネルギー（$p$の関数）との交換関係を考えるだけでよい。演算子の前後を入れ換えた演算子恒等式（(4.5.4)式）

    <4-115>　$\begin{array}{c}[C,AB]=-[AB,C]\hfill \\ =-A[B,C]-[A,C]B\hfill \\ =A[C,B]+[C,A]B\hfill \end{array}$

    を使う。この中で、$C\to x$、 $A\to p$、$B\to p$と置き換えてから、$[x,p]=i\hslash$を使って以下のように計算を行なう。その結果

    <4-116>　$\begin{array}{c}[x,H]=\left[x,\frac{p^2}{2m}\right]\hfill \\ =\frac{1}{2m}[x,p^2]\hfill \\ =\frac{1}{2m}\left\{p[x,p]+[x,p]p\right\}\hfill \\ =\frac{1}{2m}\times (2i\hslash p)\hfill \\ =\frac{i\hslash }{m}p\hfill \end{array}$

    を得る。両辺を$i\hslash$で割り算してから期待値をとると、左辺は(4.5.15)式から座標の期待値$X(t)$の時間微分、右辺は運動量の期待値$P(t)$を $m$で割った量となる。すなわち

    <4-117>　

    が得られた。

  • (問2)　$\left(-\frac{\mathrm{dV}(x)}{\mathrm{dx}}\right)$の期待値を$F$と書くと、$\frac{\mathrm{dP}(t)}{\mathrm{dt}}=F$であることを証明せよ。
  • 【解】　(4.5.15)式より$\left(\frac{\mathrm{dP}(t)}{\mathrm{dt}}\right)$は交換関係$[p,H]$の期待値を$\left(\frac{1}{i\hslash }\right)$倍したものに等しいから、まずは$[p,H]$を計算すればよい。しかるに $H$の中の運動エネルギーは$p$のみの関数であるから$p$とは交換するので、 $p$と$V(x)$の交換関係だけを考えればよい。
    　この交換関係を求めるには少し工夫を要する。まず$x$の適当な関数 $f(x)$を用意して、それに $V(x)$を演算した関数 $\left[V(x)f(x)\right]$に$p$を演算する。 $p$の演算は$\left(-i\hslash \frac{d}{dx}\right)$を関数に演算することであるから$p\left[V(x)f(x)\right]$は

    <4-118>　

    と書き換えられる。三行目の式を得る時に、二行目の第二項で運動量演算子の定義を使って$\left(-i\hslash \frac{d}{\mathrm{dx}}\right)$を $p$で置き換えた。さらに左辺を二つの演算子 $p$と$V(x)$が続けて関数$f(x)$に演算する形、すなわち$\left[\mathrm{pV}(x)\right]f(x)$のように書き換えると、上式の左辺と右辺はともに任意関数$f(x)$に演算子が演算した等式となっている。したがって $f(x)$に作用する演算子だけを抜き出せば上の式は

    <4-119>　$pV(x)=-i\hslash \frac{\mathrm{dV}(x)}{\mathrm{dx}}+V(x)p$

    である。右辺第一項目の$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}$は $V$の微分係数であり、それで一つの関数である。
    　右辺二項目の$V$と$p$の積を左辺に移すと、左辺に$p$と $V(x)$の交換関係が現れ、 <4-120>$\left([p,H]=[p,V(x)]\right)$であったから、ゆえに

    <4-121>　$[p,H]=-i\hslash \frac{\mathrm{dV}(x)}{\mathrm{dx}}$

    を得る。左辺の期待値は運動量の期待値$P(t)$の時間微分の$(+i\hslash )$倍であり、右辺の期待値は問題に与えられた$F$の$(+i\hslash )$倍であるから、ゆえに共通の$(+i\hslash )$を外せば

    <4-122>　$\frac{\mathrm{dP}(t)}{\mathrm{dt}}=F$

    を得る。

• 【演習2】　上問の結果を使って

  <4-123>　$F=m\frac{d^{2}X(t)}{d{t}^2}$

  を証明せよ。

  • 【解】　【演習１】の二つの結果をまとめると

    <4-124>　(4.5.16)　$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dX}(t)}{\mathrm{dt}}=\frac{P(t)}{m}\hfill \\ \frac{\mathrm{dP}(t)}{\mathrm{dt}}=F\hfill \end{array}\right.$

    であるから、第二の式の$P(t)$に第一の式から得られる <4-125>$\left(P(t)=m\frac{\mathrm{dX}(t)}{\mathrm{dt}}\right)$を代入し、左辺と右辺を入れ換えると

    <4-126>　(4.5.17)　$F=m\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\mathrm{dX}(t)}{\mathrm{dt}}\right]=m\frac{d^{2}X(t)}{d{t}^2}$

    を得る。